これまでに4年や5年で面積や体積の学習の中で比例の関係について学んできましたが、反比例の関係については、ここで初めて学習します。
比例との違いをしっかり理解させることが、大切です。
@ 反比例関係の意味と性質
A 反比例関係の式・表の表し方
B 反比例関係のグラフの表し方
C 身の回りの反比例関係
※ 中学の関数につながる勉強ですので、比例の勉強と比べながら、上のことに気づかせることができればと思います。
面積が12の長方形の、横の長さpと縦の長さpの関係を、下の動画を使って考えさせます。
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上の動画を見せて気づいたことを聞いていくと、比例の関係ではないことに気づくお子さんがいます。ほめてあげて、下のような表に整理してみましょう。
×=12の式から考えさせます。
横の長さcm | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
たての長さcm | 12 | 6 | 4 | 3 | 2.4 | 2 |
表を見て、わかったことを聞いて、下のように整理して気づかせます。
横の長さが2倍3倍・・・になると たての長さは倍 倍・・・になっているね。
他にも、わかったことを聞いて、下のように整理して気づかせます。
横の長さが倍 倍・・・になると たての長さは 2倍3倍・・・になっているね。
そして反比例の意味を教えます。
2つの量とがあって、
の値が2倍、3倍・・・・になると、
それに対応するの値が倍倍・・・になるとき、
は、に反比例するといいます。
できれば声に出して、上のことを覚える練習をすると、次の勉強に生かすことができます。
たての長さと横の長さの二つの量の関係で、他にわかったことを聞いて、下のように整理して気づかせます。
2つの量が反比例の関係にあるとき
2つの量のかけ算の答え(積)は一定です。
上のことから、反比例の関係にある一方の数がわからないときは、決まった数をわかっているほうの数で割ればいいということに気づかせます。
【問い1】面積12のたての長さが8cmのとき 横の長さは何cmですか。
長方形の面積の公式は「たて×横」なので
たて×横=面積という関係です。
これは反比例の関係です。
教え方2の表にが8のときの答えはありませんが、計算で求めることができます。
×=12 で が8だから
横の長さは12÷8で1.5cmと求められます。
面積12のたての長さが変わると横の長さもかわっていきます。
このとき
決まった数は面積の 12
わかっている数はたての長さの 8
だということがとらえられればいいですね。
【問い2】面積が16の長方形のたての長さが5cmのとき、横の長さは何cmですか。
式 16÷5=3.2 答え 3.2cm
がに反比例するとき、
との関係は、
=きまった数÷ という式で表します。
=12÷ の式を使って、反比例の関係をグラフで表す方法を教えます。
そして反比例のグラフは比例のグラフのように直線にならないことに気づかせます。
※グラフのめもりの打ち方や点の書き方はこちらを参照
反比例のグラフ=12÷
アニメでかきかたをたしかめましょう
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反比例のグラフはこれまで習ったグラフのように直線では書けません。子どもによっては、グラフの点がうまくつなげず、ガタガタになることもありますが、点の位置があっていれば合格です。
また、どんな式の反比例グラフも似たような形になることに気づかせましょう。
反比例でない例を提示して、反比例の意味を確認させます。
子どもの中には、反比例の意味を「一方が増えると、他方が減る関係が反比例」と間違ってとらえている場合があります。
そこで反比例に似ているが、反比例ではない例を下のように示し、「反比例の意味」を確認させたいと思います。
反比例に似ているが、反比例ではない例
例1
10cmの長さのろうそくの時間と長さの関係
(1分間に1cmへっていくろうそくの場合)
時間(分) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
長さ(cm) | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 |
片方がふえると片方がへるが、反比例の関係ではない
例2
1000円で買った物の代金とおつりの関係
買った代金(円) | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 |
おつり(円) | 900 | 800 | 700 | 600 | 500 |
片方がふえると片方がへるが、反比例の関係ではない
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(比例反比例の関係を使って解く問題)
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